Sistemas numéricos
Convencionalmente
diversos conjuntos dotados de "adición" y "multiplicación"
se llaman sistemas numéricos. Entre estos conjuntos están los números
naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos, aunque
existen otros que generalizan a algunos de los anteriores. Aunque no existe una
definición formal de sistema
numérico, todos los conjuntos dotados de operaciones binarias que se
cuentan convencionalmente entre los sistemas numéricos tienen propiedades
comunes.
En
todos los sistemas numéricos convencionales hay definidas dos operaciones binarias asociativas
denominadas adición y multiplicación, y además se cumple que la multiplicación es distributiva con respecto a la adición. La adición es siempre conmutativa, aunque en algunos
sistemas numéricos la multiplicación no siempre es conmutativa 1 ): Para a, b y c elementos cualesquiera de :
·
Propiedad conmutativa de la
adición: a + b = b + a
·
Propiedad asociativa de la
adición: (a + b) + c = a + (b + c)
·
Propiedad asociativa de la
multiplicación: (a • b) • c = a • (b • c)
·
Propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la adición: a • (b + c) = a
• b + a • c
La adición y la multiplicación no necesariamente deben ser las de la aritmética elemental.
Más
formalmente un sistema numérico se caracterizan por una séxtupla, donde:
Es
un conjunto de axiomas que definen las propiedades algebraicas de las
operaciones y conjeturan la posible existencia de cierto tipo de elementos (opuestos,
inversos, etc.)
Es
un conjunto de axiomas referidos a la teoría del orden, que dan
cuenta de ciertas propiedades asociadas a la relaciones existentes ente los
elementos.
Es
un conjunto de axiomas topológicos, que posiblemente incluyen la definición de
ciertas funciones (distancia) y propiedades (completitud,
densidad, etc.)
Ejemplos intuitivos
La
mayor parte de ejemplos de sistemas numéricos sencillos están relacionados con
extensiones de los números naturales:
·
Los números enteros, generalizar
la idea de contar y permiten formalizar el concepto de deuda o defecto de algo,
es decir, en ellos se puede formalizar operaciones como "4 - 7", etc.
Este sistema numérico tiene una estructura de anillo conmutativo unitario, una topología discreta trivial.
Las propiedades de orden son relativamente simples ya que cualquier conjunto acotado
es finito tiene un elemento mínimo y un elemento máximo pertenecientes a dicho
conjunto.
·
Los números racionales, permiten
formalizar además de la idea de deuda o defecto de algo, la noción de porción
de algo, eso implica a su vez propiedades topológicas más complicadas, como la
que entre dos números racionales siempre existe al menos otro número racional.
Eso hace topológicamente complicados a los racionales ya que un conjunto
acotado no tiene porqué tener un máximo o un mínimo (aunque sí una cota superior y una cota inferior). Algebraicamente los racionales tienen estructura
de cuerpo. La principal
diferencia con los reales es que los racionales no son un conjunto topológicamente completo.
Los restos de módulo 2
Los
restos de módulo 2, con las operaciones de suma y multiplicación de restos, forman un sistema numérico. La congruencia de Gauss es una relación de equivalencia.
El cociente del conjunto por una
relación de equivalencia lo divide en clases disjuntas. En el caso de las
congruencias de módulo 2 lo que se hace es dividir a los enteros en números
pares e impares. Las operaciones de suma y multiplicación definidas permiten responder de qué
paridad es el resultado de una suma o multiplicación de números pares o impares, en cualquier combinación que se utilice. Los símbolos
"0" y "1" representan a los restos posibles de la división entera por
2: 0 para los números pares y 1 para los impares. La expresión 1 + 1 = 0 es
equivalente a: impar + impar = par.
Tabla de sumar
|
||
+
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
